# Automatisieren von Fehlerrechnung

\[ \sigma_{f(x_i)} = \sqrt{\sum_{i=1}^m \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{\!2} \sigma_{x_i}^2} \]

- Gesucht: Fehler von \(f(x_i)\), wenn \(x_i\) Fehler haben
- Manuelle Fehlerfortpflanzung:

1. Berechne die Ableitungen von \(f\) nach allen fehlerbehafteten Größen \(x_i\)
2. Ableitungen in die obere Formel einsetzen
3. Werte und Fehler der \(x_i\) einsetzen

- Probleme:
- Kompliziert, dauert lange, man macht oft Fehler
- Falsches Ergebnis, wenn \(x_i\) korreliert sind

\[ \operatorname{cov}(\vec{f}) = \mathbf{J} \operatorname{cov}(\vec{x}) \mathbf{J}^\top \]

\(\mathbf{J}\) ist Jacobimatrix von \(\vec{f}\) nach \(\vec{x}\).

## `uncertainties`

- Erlaubt es, Fehlerrechnung automatisch durchzuführen
- Datentyp: `ufloat`, repräsentiert Wert mit Fehler

In [15]:

    from uncertainties import ufloat

    x = ufloat(5, 1)
    y = ufloat(3, 1)

    x + y

Out[15]:

    8.0+/-1.4142135623730951

In [16]:

    # Korrelationen werden von uncertainties beachtet:
    x = ufloat(3, 1)
    y = ufloat(3, 1)

    print(x**2 - y)
    print(x**2 - x) # Fehler ist kleiner!

    6.0+/-6.1
    6.0+/-5.0

`uncertainties.unumpy` ergänzt numpy:

In [17]:

    import numpy as np
    import uncertainties.unumpy as unp

    x = [1, 2, 3, 4, 5]
    err = [0.1, 0.3, 0.1, 0.8, 1.0]

    y = unp.uarray(x, err)

    unp.cos(unp.exp(y))

Out[17]:

    array([-0.9117339147869651+/-0.11166193174450133,
           0.4483562418187328+/-1.9814233218473645,
           0.3285947554325321+/-1.8970207322669204,
           -0.3706617333977958+/-40.567208903209576,
           -0.7260031145123346+/-102.06245489729305], dtype=object)

Zugriff auf Wert und Standardabweichung mit `n` und `s`:

In [18]:

    x = ufloat(5, 1)
    print(x.n)
    print(x.s)

    5.0
    1.0

Bei `unumpy` mit `nominal_values` und `std_devs`

In [19]:

    x = unp.uarray([1, 2, 3], [0.3, 0.3, 0.1])
    print(unp.nominal_values(x))
    print(unp.std_devs(x))

    [ 1.  2.  3.]
    [ 0.3  0.3  0.1]

Kann man natürlich auch abkürzen:

In [20]:

    from uncertainties.unumpy import (nominal_values as noms,
                                      std_devs as stds)

    print(noms(x))
    print(stds(x))

    [ 1.  2.  3.]
    [ 0.3  0.3  0.1]

Man muss daran denken, die Funktionen aus unumpy zu benutzen (`exp`, `cos`, etc.)

In [21]:

    unp.cos(x)

Out[21]:

    array([0.5403023058681398+/-0.25244129544236893,
           -0.4161468365471424+/-0.2727892280477045,
           -0.9899924966004454+/-0.014112000805986721], dtype=object)

# korrelierte Werte

In [22]:

    from uncertainties import correlated_values

    values = [1, 2]

    cov = [[0.5, 0.25],
           [0.25, 0.2]]

    x, y = correlated_values(values, cov)

### Vorsicht bei Fits:

korrelierte Fit-Parameter führen zu nichts-sagenden Ergebnissen. Kontrolle: Kovarianzmatrix.

In [23]:

    %matplotlib inline

    from numpy.random import normal
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.rcParams['figure.figsize'] = (10, 8)
    plt.rcParams['font.size'] = 16
    from scipy.optimize import curve_fit
    from uncertainties import correlated_values, correlation_matrix

    def f1(x, a, b):
        return a * np.exp(b * x)

    def f2(x, a, b, c):
        return a * np.exp(b * x + c)

    x = np.linspace(0, 2, 30)
    y = 0.5 * np.exp(2 * x) + normal(0, 1, 30)

    params, cov = curve_fit(f1, x, y)
    #params, cov = curve_fit(f2, x, y)

    params = correlated_values(params, cov)

    for param in params:
        print(param)
    print()
    print(cov)

    plt.matshow(correlation_matrix(params))
    plt.colorbar()

    0.42+/-0.06
    2.10+/-0.07

    [[ 0.00311356 -0.00406271]
     [-0.00406271  0.00539254]]

Out[23]:

    <matplotlib.colorbar.Colorbar at 0x7f1a6e943be0>

## Vorsicht

Man kann keine `ufloat`s plotten:

In [24]:

    x = np.linspace(0, 10)
    y = unp.uarray(np.linspace(0, 5), 1)

    #plt.plot(x, y, 'rx')
    plt.errorbar(x, unp.nominal_values(y), yerr=unp.std_devs(y), fmt='rx')

Out[24]:

    <Container object of 3 artists>

# Sympy

- Problem: Die Assistenten möchten aber trotzdem, dass man alle Ableitungen in das Protokoll schreibt
- Lösung: Ableitungen automatisch generieren

SymPy importieren:

In [25]:

    import sympy

Mathematische Variablen erzeugen mit `var()`:

In [26]:

    x, y, z = sympy.var('x y z')

    x + y + z

Out[26]:

    x + y + z

Differenzieren mit `diff()`:

In [27]:

    f = x + y**3 - sympy.cos(z)**2

    print(f.diff(x))
    print(f.diff(y))
    print(f.diff(z))
    print(f.diff(z, z, z))

    1
    3*y**2
    2*sin(z)*cos(z)
    -8*sin(z)*cos(z)

Eine Funktion, die automatisch die Fehlerformel generiert:

In [28]:

    import sympy

    def error(f, err_vars=None):
        from sympy import Symbol, latex
        s = 0
        latex_names = dict()

        if err_vars == None:
            err_vars = f.free_symbols

        for v in err_vars:
            err = Symbol('latex_std_' + v.name)
            s += f.diff(v)**2 * err**2
            latex_names[err] = '\\sigma_{' + latex(v) + '}'

        return latex(sympy.sqrt(s), symbol_names=latex_names)

    E, q, r = sympy.var('E_x q r')

    f = E + q**2 * r

    print(error(f))

    \sqrt{\sigma_{E_{x}}^{2} + 4 \sigma_{q}^{2} q^{2} r^{2} + \sigma_{r}^{2} q^{4}}

\[\sqrt{\sigma_{E_{x}}^{2} + 4 \sigma_{q}^{2} q^{2} r^{2} + \sigma_{r}^{2} q^{4}}\]