# Automatisieren von Fehlerrechnung¶

- Gesucht: Fehler von $f(x_1, \dots x_m)$, wenn $x_i$ Fehler haben
- Gaußsche Fehlerfortpflanzung:

$$ \sigma_{f} = \sqrt{\sum_{i=1}^m \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{\!2} \sigma_{x_i}^2} $$

- Manuelle Fehlerfortpflanzung:
  1. Berechne die Ableitungen von $f$ nach allen fehlerbehafteten Größen $x_i$
  2. Ableitungen in die obere Formel einsetzen
  3. Werte und Fehler der $x_i$ einsetzen
- Probleme:
  - Kompliziert, dauert lange, man macht oft Fehler
  - Falsches Ergebnis, wenn $x_i$ korreliert sind, dann erweiterte Fehlerfortpflanzung:

$$ \sigma_{f} = \sqrt{\sum_{i=1}^m \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{\!2} \sigma_{x_i}^2 + \sum_{j\neq k} \frac{\partial f}{\partial x_j} \frac{\partial f}{\partial x_k} \operatorname{cov}(x_j, x_k)} $$

- $\operatorname{cov}(x_j, x_k)$ sind die Einträge der Kovarianzmatrix und beschreiben die Korrelation zwischen den Fehlern von $x_j$ und $x_k$

- konkret für zwei Messgrößen x, y, die $N$ mal gemessen wurden:

  $$ \operatorname{cov}(x, y) = \frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{N} $$

## `uncertainties`¶

- Erlaubt es, Fehlerrechnung automatisch durchzuführen
- Datentyp: `ufloat`, repräsentiert Wert mit Fehler

In [1]:

    from uncertainties import ufloat

    x = ufloat(5, 1)
    y = ufloat(3, 1)

    x + y

Out[1]:

    8.0+/-1.4142135623730951

Korrelationen werden von uncertainties beachtet:

In [2]:

    x = ufloat(3, 1)
    y = ufloat(3, 1)

    print(x - y)
    print(x - x) # error is zero!

    print(x == y)

    0.0+/-1.4
    0.0+/-0
    False

`uncertainties.unumpy` ergänzt numpy:

In [3]:

    import numpy as np
    import uncertainties.unumpy as unp

    x = [1, 2, 3, 4, 5]
    err = [0.1, 0.3, 0.1, 0.8, 1.0]

    y = unp.uarray(x, err)

    unp.cos(unp.exp(y))

Out[3]:

    array([-0.9117339147869651+/-0.11166193174450133,
           0.4483562418187328+/-1.9814233218473645,
           0.3285947554325321+/-1.8970207322669204,
           -0.3706617333977958+/-40.567208903209576,
           -0.7260031145123346+/-102.06245489729305], dtype=object)

Man muss daran denken, die Funktionen aus unumpy zu benutzen (`exp`, `cos`, etc.)

In [4]:

    np.cos(x)

Out[4]:

    array([ 0.54030231, -0.41614684, -0.9899925 , -0.65364362,  0.28366219])

Zugriff auf Wert und Standardabweichung mit `n` und `s`:

In [5]:

    x = ufloat(5, 1)
    print(x.n)
    print(x.s)

    5.0
    1.0

Bei `unumpy` mit `nominal_values` und `std_devs`

In [6]:

    x = unp.uarray([1, 2, 3], [0.3, 0.3, 0.1])
    print(unp.nominal_values(x))
    print(unp.std_devs(x))

    [1. 2. 3.]
    [0.3 0.3 0.1]

Kann man natürlich auch abkürzen:

In [7]:

    from uncertainties.unumpy import (nominal_values as noms,
                                      std_devs as stds)

    print(noms(x))
    print(stds(x))

    [1. 2. 3.]
    [0.3 0.3 0.1]

# Korrelierte Werte¶

In [8]:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.rcParams['figure.figsize'] = (8, 4)
    plt.rcParams['font.size'] = 16

    x = np.array([90, 60, 45, 100, 15, 23, 52, 30, 71, 88])
    y = np.array([90, 71, 65, 100, 45, 60, 75, 85, 100, 80])

    plt.plot(x, y, 'ro')
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.show()

vermute eine lineare Korrelation der Messwerte. Stützen der Hypothese mit Korrelationskoeffizient:

$$r = \frac{cov(x, y)}{\sigma_x \sigma_y}, \quad -1 \leq r \leq 1$$

In [9]:

    x_mean = np.mean(x)
    y_mean = np.mean(y)

    dx = x - x_mean
    dy = y - y_mean
    corr_coeff = np.sum(dx * dy) / np.sqrt(np.sum(dx**2) * np.sum(dy**2))
    print(corr_coeff)

    0.7807249232806309

Korrelation zwischen Variablen mit correlated_values erzeugen:

In [10]:

    from uncertainties import correlated_values

    values = [1, 2]

    cov = [[0.5, 0.25],
           [0.25, 0.2]]

    x, y = correlated_values(values, cov)

### Vorsicht bei Fits:¶

korrelierte Fit-Parameter führen zu nichts-sagenden Ergebnissen. Kontrolle: Korrelationsmatrix.

In [11]:

    %matplotlib inline

    from numpy.random import normal
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.rcParams['figure.figsize'] = (10, 8)
    plt.rcParams['font.size'] = 16
    from scipy.optimize import curve_fit
    from uncertainties import correlated_values, correlation_matrix

    def f1(x, a, phi):
        return a * np.cos(x + phi)

    def f2(x, a, b):
        return a * np.cos(x) + b * np.sin(x)

    x = np.linspace(0, 4 * np.pi, 15)
    y = 5 * np.sin(x) + 5 * np.cos(x) + np.random.normal(0, 0.8, 15)

    params1, cov1 = curve_fit(f1, x, y)
    params2, cov2 = curve_fit(f2, x, y)

    params1 = correlated_values(params1, cov1)
    params2 = correlated_values(params2, cov2)

    x_plot = np.linspace(0, 4 * np.pi, 1000)

    plt.plot(x, y, 'k.')

    plt.plot(x_plot, f1(x_plot, *noms(params1)), label='f1', lw=2)
    plt.plot(x_plot, f2(x_plot, *noms(params2)), '--', label='f2', lw=2)

    plt.legend()

    fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1)

    print(correlation_matrix(params1))
    print(correlation_matrix(params2))

    mat1 = ax1.matshow(correlation_matrix(params1), cmap='RdBu_r', vmin=-1, vmax=1)
    mat2 = ax2.matshow(correlation_matrix(params2), cmap='RdBu_r', vmin=-1, vmax=1)
    fig.colorbar(mat1, ax=ax1)
    fig.colorbar(mat2, ax=ax2)

    [[ 1.         -0.06649364]
     [-0.06649364  1.        ]]
    [[ 1.00000000e+00 -2.67749586e-09]
     [-2.67749586e-09  1.00000000e+00]]

Out[11]:

    <matplotlib.colorbar.Colorbar at 0x7fb23e32abe0>

## Vorsicht¶

Man kann keine `ufloat`s plotten:

In [12]:

    x = np.linspace(0, 10)
    y = unp.uarray(np.linspace(0, 5), 1)

    #plt.plot(x, y, 'rx')
    plt.errorbar(x, unp.nominal_values(y), yerr=unp.std_devs(y), fmt='rx')

Out[12]:

    <ErrorbarContainer object of 3 artists>

# Sympy¶

- Kann Ableitungen automatisch generieren

SymPy importieren:

In [13]:

    import sympy

Mathematische Variablen erzeugen mit `var()`:

In [14]:

    x, y, z = sympy.var('x y z')

    x + y + z

Out[14]:

    x + y + z

Differenzieren mit `diff()`:

In [15]:

    f = x + y**3 - sympy.cos(z)**2

    print(f.diff(x))
    print(f.diff(y))
    print(f.diff(z))
    print(f.diff(z, z, z))

    1
    3*y**2
    2*sin(z)*cos(z)
    -8*sin(z)*cos(z)

Eine Funktion, die automatisch die Fehlerformel generiert:

In [16]:

    import sympy

    def error(f, err_vars=None):
        from sympy import Symbol, latex
        s = 0
        latex_names = dict()

        if err_vars == None:
            err_vars = f.free_symbols

        for v in err_vars:
            err = Symbol('latex_std_' + v.name)
            s += f.diff(v)**2 * err**2
            latex_names[err] = '\\sigma_{' + latex(v) + '}'

        return latex(sympy.sqrt(s), symbol_names=latex_names)

    E, q, r = sympy.var('E_x q r')

    f = E + q**2 * r

    print(f)
    print(error(f))
    print()

    E_x + q**2*r
    \sqrt{\sigma_{E_{x}}^{2} + 4 \sigma_{q}^{2} q^{2} r^{2} + \sigma_{r}^{2} q^{4}}

$$f= E + q^2 r \quad\rightarrow\quad \sigma_f = \sqrt{\sigma_{E_{x}}^{2} + 4 \sigma_{q}^{2} q^{2} r^{2} + \sigma_{r}^{2} q^{4}}$$