# Automatisieren von Fehlerrechnung¶

- Gesucht: Unsicherheit von $f(x_1, \dots x_m)$, wenn $x_i$ Unsicherheiten haben
- Gaußsche Fehlerfortpflanzung:

$$ \sigma_{f} = \sqrt{\sum_{i=1}^m \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{\!2} \sigma_{x_i}^2} $$

- Manuelle Fehlerfortpflanzung:

1. Berechne die Ableitungen von $f$ nach allen fehlerbehafteten Größen $x_i$
2. Ableitungen in die obere Formel einsetzen
3. Werte und Unsicherheiten der $x_i$ einsetzen

- Probleme:
- Kompliziert, dauert lange, man macht oft Fehler
- Falsches Ergebnis, wenn $x_i$ korreliert sind, dann erweiterte Fehlerfortpflanzung:

$$ \sigma_{f} = \sqrt{\sum_{i=1}^m \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{\!2} \sigma_{x_i}^2 + \sum_{j\neq k} \frac{\partial f}{\partial x_j} \frac{\partial f}{\partial x_k} \operatorname{cov}(x_j, x_k)} $$

- $\operatorname{cov}(x_j, x_k)$ sind die Einträge der Kovarianzmatrix und beschreiben die Korrelation zwischen den Unsicherheiten von $x_j$ und $x_k$

- konkret für zwei Messgrößen x, y, die $N$ mal gemessen wurden:

$$ \operatorname{cov}(x, y) = \frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{N} $$

## `uncertainties`¶

- Erlaubt es, Fehlerrechnung automatisch durchzuführen
- Datentyp: `ufloat`, repräsentiert Wert mit Unsicherheit

In [1]:

    from uncertainties import ufloat

    x = ufloat(5, 1)
    y = ufloat(3, 1)

    x + y

Out[1]:

    8.0+/-1.4142135623730951

Korrelationen werden von uncertainties beachtet:

In [2]:

    x = ufloat(3, 1)
    y = ufloat(3, 1)

    print(x - y)
    print(x - x)  # error is zero!

    print(x == y)

    0.0+/-1.4
    0.0+/-0
    False

`uncertainties.unumpy` ergänzt numpy:

In [3]:

    import numpy as np
    import uncertainties.unumpy as unp

    x = [1, 2, 3, 4, 5]
    err = [0.1, 0.3, 0.1, 0.8, 1.0]

    y = unp.uarray(x, err)

    unp.cos(unp.exp(y))

Out[3]:

    array([-0.9117339147869651+/-0.11166193174450133,
           0.4483562418187328+/-1.9814233218473645,
           0.3285947554325321+/-1.8970207322669204,
           -0.3706617333977958+/-40.567208903209576,
           -0.7260031145123346+/-102.06245489729305], dtype=object)

Man muss daran denken, jetzt die Funktionen aus unumpy zu benutzen (`exp`, `cos`, etc.)

In [4]:

    np.cos(x)

Out[4]:

    array([ 0.54030231, -0.41614684, -0.9899925 , -0.65364362,  0.28366219])

Zugriff auf Wert und Standardabweichung mit `n` und `s`:

In [5]:

    x = ufloat(5, 1)
    print(x.n)
    print(x.s)

    5.0
    1.0

Bei `unumpy` mit `nominal_values` und `std_devs`

In [6]:

    x = unp.uarray([1, 2, 3], [0.3, 0.3, 0.1])
    print(unp.nominal_values(x))
    print(unp.std_devs(x))

    [1. 2. 3.]
    [0.3 0.3 0.1]

Kann man natürlich auch im import abkürzen:

In [7]:

    from uncertainties.unumpy import nominal_values as noms, std_devs as stds

    print(noms(x))
    print(stds(x))

    [1. 2. 3.]
    [0.3 0.3 0.1]

# Korrelierte Werte¶

In [8]:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt

    plt.rcParams["figure.figsize"] = (8, 4)
    plt.rcParams["font.size"] = 16

    x = np.array([90, 60, 45, 100, 15, 23, 52, 30, 71, 88])
    y = np.array([90, 71, 65, 100, 45, 60, 75, 85, 100, 80])

    fig, ax = plt.subplots(1, 1, layout="constrained")

    ax.plot(x, y, "ro")
    ax.set_xlabel("x")
    ax.set_ylabel("y")
    fig

Out[8]:

Wir vermuten eine lineare Korrelation der Messwerte und stützen die Hypothese mit dem Korrelationskoeffizient:

$$r = \frac{cov(x, y)}{\sigma_x \sigma_y}, \quad -1 \leq r \leq 1$$

In [9]:

    x_mean = np.mean(x)
    y_mean = np.mean(y)

    dx = x - x_mean
    dy = y - y_mean
    corr_coeff = np.sum(dx * dy) / np.sqrt(np.sum(dx**2) * np.sum(dy**2))
    print(corr_coeff)

    0.7807249232806309

Korrelation zwischen Variablen mit `correlated_values` erzeugen:

In [10]:

    from uncertainties import correlated_values

    values = [1, 2]

    cov = [[0.5, 0.25], [0.25, 0.2]]

    x, y = correlated_values(values, cov)

### Vorsicht bei Fits:¶

Korrelierte Fit-Parameter führen zu nichts-sagenden Ergebnissen. Kontrolle: Korrelationsmatrix.

In [11]:

    %matplotlib inline

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt

    plt.rcParams["figure.figsize"] = (10, 8)
    plt.rcParams["font.size"] = 16
    from scipy.optimize import curve_fit
    from uncertainties import correlated_values, correlation_matrix

    rng = np.random.default_rng()

    def f1(x, a, phi):
        return a * np.cos(x + phi)

    def f2(x, a, b):
        return a * np.cos(x) + b * np.sin(x)

    x = np.linspace(0, 4 * np.pi, 15)
    y = 5 * np.sin(x) + 5 * np.cos(x) + rng.normal(0, 0.8, 15)

    params1, cov1 = curve_fit(f1, x, y)
    params2, cov2 = curve_fit(f2, x, y)

    params1 = correlated_values(params1, cov1)
    params2 = correlated_values(params2, cov2)

    x_plot = np.linspace(0, 4 * np.pi, 1000)

    fig, ax = plt.subplots(1, 1, layout="constrained")

    ax.plot(x, y, "k.")

    ax.plot(x_plot, f1(x_plot, *noms(params1)), label="f1", lw=2)
    ax.plot(x_plot, f2(x_plot, *noms(params2)), "--", label="f2", lw=2)

    ax.legend()

    fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, layout="constrained")

    print(correlation_matrix(params1))
    print(correlation_matrix(params2))

    mat1 = ax1.matshow(correlation_matrix(params1), cmap="RdBu_r", vmin=-1, vmax=1)
    mat2 = ax2.matshow(correlation_matrix(params2), cmap="RdBu_r", vmin=-1, vmax=1)
    fig.colorbar(mat1, ax=ax1)
    fig.colorbar(mat2, ax=ax2);

    [[1.         0.06663536]
     [0.06663536 1.        ]]
    [[1.00000000e+00 1.70419401e-09]
     [1.70419401e-09 1.00000000e+00]]

## Vorsicht¶

Man kann keine `ufloat`s plotten:

In [12]:

    x = np.linspace(0, 10)
    y = unp.uarray(np.linspace(0, 5), 1)

    fig, ax = plt.subplots(1, 1, layout="constrained")

    # ax.plot(x, y, 'rx')
    ax.errorbar(x, unp.nominal_values(y), yerr=unp.std_devs(y), fmt="rx");

# SymPy¶

- Kann Ableitungen automatisch generieren

SymPy importieren:

In [13]:

    import sympy

Mathematische Variablen erzeugen mit `var()`:

In [14]:

    x, y, z = sympy.var("x y z")

    x + y + z

Out[14]:
$\displaystyle x + y + z$

Differenzieren mit `diff()`:

In [15]:

    f = x + y**3 - sympy.cos(z) ** 2

    print(f)
    print(f.diff(x))
    print(f.diff(y))
    print(f.diff(z))
    print(f.diff(z, z, z))

    x + y**3 - cos(z)**2
    1
    3*y**2
    2*sin(z)*cos(z)
    -8*sin(z)*cos(z)

Eine Funktion, die automatisch die Fehlerformel generiert:

In [16]:

    import sympy

    def error(f, err_vars=None):
        from sympy import Symbol, latex

        s = 0
        latex_names = dict()

        if err_vars is None:
            err_vars = f.free_symbols

        for v in err_vars:
            err = Symbol("latex_std_" + v.name)
            s += f.diff(v) ** 2 * err**2
            latex_names[err] = "\\sigma_{" + latex(v) + "}"

        return latex(sympy.sqrt(s), symbol_names=latex_names)

    E, q, r = sympy.var("E_x q r")

    f = E + q**2 * r

    print(f)
    print(error(f))
    print()

    E_x + q**2*r
    \sqrt{\sigma_{E_{x}}^{2} + 4 \sigma_{q}^{2} q^{2} r^{2} + \sigma_{r}^{2} q^{4}}

$$f= E + q^2 r \quad\rightarrow\quad \sigma_f = \sqrt{\sigma_{E_{x}}^{2} + 4 \sigma_{q}^{2} q^{2} r^{2} + \sigma_{r}^{2} q^{4}}$$