\section{Auswertung}
\label{sec:Auswertung}
Die für diesen Versuch relevanten physikalischen Größen für Kugel und Zylinder sind:
\begin{align}
  \label{eq:physical-properties}
  m_\text{Z} &= \qty{0.1860+-0.0010}{\kilo\gram} & m_\text{K} &= \qty{0.2160+-0.0010}{\kilo\gram}\nonumber\\
  r_{\text{Z},\text{i}} &= \qty{0.0357+-0.0010}{\meter}& r_\text{K} &= \qty{0.04854+-0.00016}{\meter}\\
  r_{\text{Z},\text{a}} &= \qty{0.03867+-0.00016}{\meter} &&\nonumber
\end{align}
Berechnet wurde aus diesen Größen das jeweilige, theoretische Trägheitsmoment
\begin{align}
  \label{eq:moments-inertia}
  I_\text{Z} &= \qty{2.57+-0.07}{\kilo\gram\centi\meter\squared}\quad\text{ und } & I_\text{K} =\qty{2.036+-0.016}{\kilo\gram\centi\meter\squared}
\end{align}
Aus den aufgenommenen Videos der Versuche wurden die in \autoref{tab:all-measurements} folgenden Frameindizes extrahiert.
Die ebenfalls aufgeführte Zeitdauer $t$ wurde dann jeweils aus der aus dem Startframeindex $F_\text{i}$,
berechnet
\begin{equation*}
  t = (F_\text{f} - F_\text{i})\cdot\operatorname{fps}^{-1}
\end{equation*}

\begin{table}
  \centering
  \caption{Alle aufgenommenen Werte, das heißt mit dreifach wiederholter Messungen je Höhe.}
  \label{tab:all-measurements}
  \begin{tblr}{
    colspec = {
        S[table-format=1.3]
        S[table-format=4.0]
        S[table-format=1.0]
        S[table-format=4.0]
        S[table-format=1.0]
        S[table-format=1.3]
        S[table-format=1.3]
        S[table-format=4.0]
        S[table-format=1.0]
        S[table-format=4.0]
        S[table-format=1.0]
        S[table-format=1.3]
        S[table-format=1.3]
    },
    row{1} = {guard},
    row{2} = {guard, mode=math},
    vline{3,5,7,9,11,13} = {2}{-}{text=\clap{\pm}},
  }
    \toprule
    &
    \SetCell[c=6]{c} Messung: Kugel & & & & & &
    \SetCell[c=6]{c} Messung: Zylinder & & & & & \\
    \cmidrule[lr]{2-7}\cmidrule[lr]{8-14}
    h \mathbin{/} \unit{\meter} &%
    \SetCell[c=2]{c} F_\text{i} \mathbin{/} 1 & &%
    \SetCell[c=2]{c} F_\text{f} \mathbin{/} 1 & &%
    \SetCell[c=2]{c} t \mathbin{/} \unit{\second} & &%
    \SetCell[c=2]{c} F_\text{i} \mathbin{/} 1 & &%
    \SetCell[c=2]{c} F_\text{f} \mathbin{/} 1 & &%
    \SetCell[c=2]{c} t \mathbin{/} \unit{\second}& \\
    \midrule
        0.045 & 436 & 1 &  492 & 1&  1.867 & 0.047  &  1018 & 1&  1083 & 1&  2.167 & 0.047   \\
        0.045 & 555 & 1 &  610 & 1&  1.833 & 0.047  &  1189 & 1&  1248 & 1&  1.967 & 0.047   \\
        0.045 & 672 & 1 &  729 & 1&  1.900 & 0.047  &  1340 & 1&  1404 & 1&  2.133 & 0.047   \\
        0.100 & 95 & 1 &  130 & 1&  1.167 & 0.047  &  596 & 1&  636 & 1&  1.333 & 0.047   \\
        0.100 & 199 & 1 &  235 & 1&  1.200 & 0.047  &  762 & 1&  801 & 1&  1.300 & 0.047   \\
        0.100 & 303 & 1 &  338 & 1&  1.167 & 0.047  &  882 & 1&  921 & 1&  1.300 & 0.047   \\
        0.150 & 91 & 1 &  119 & 1&  0.933 & 0.047  &  574 & 1&  605 & 1&  1.033 & 0.047   \\
        0.150 & 201 & 1 &  229 & 1&  0.933 & 0.047  &  766 & 1&  798 & 1&  1.067 & 0.047   \\
        0.150 & 335 & 1 &  362 & 1&  0.900 & 0.047  &  863 & 1&  896 & 1&  1.100 & 0.047   \\
        0.200 & 232 & 1 &  256 & 1&  0.800 & 0.047  &  679 & 1&  707 & 1&  0.933 & 0.047   \\
        0.200 & 323 & 1 &  347 & 1&  0.800 & 0.047  &  810 & 1&  838 & 1&  0.933 & 0.047   \\
        0.200 & 397 & 1 &  421 & 1&  0.800 & 0.047  &  930 & 1&  959 & 1&  0.967 & 0.047   \\
        0.250 & 153 & 1 &  174 & 1&  0.700 & 0.047  &  650 & 1&  674 & 1&  0.800 & 0.047   \\
        0.250 & 239 & 1 &  260 & 1&  0.700 & 0.047  &  892 & 1&  917 & 1&  0.833 & 0.047   \\
        0.250 & 322 & 1 &  343 & 1&  0.700 & 0.047  &  804 & 1&  827 & 1&  0.767 & 0.047   \\
        0.300 & 219 & 1 &  238 & 1&  0.633 & 0.047  &  642 & 1&  664 & 1&  0.733 & 0.047   \\
        0.300 & 319 & 1 &  338 & 1&  0.633 & 0.047  &  739 & 1&  760 & 1&  0.700 & 0.047   \\
        0.300 & 391 & 1 &  412 & 1&  0.700 & 0.047  &  900 & 1&  922 & 1&  0.733 & 0.047   \\
    \bottomrule
  \end{tblr}
\end{table}

Durch Mittelung der Messwerte für die selbe Höhe $h$ ergeben sich die Werte
in \autoref{tab:averaged-measurements}. Diese Werte werden für die folgenden
Auswertungsschritte verwendet.

\begin{table}
  \centering
  \caption{Für gleiche Starthöhe $h$ gemittelte Messwerte der Zeit $t$.}
  \label{tab:averaged-measurements}

  \begin{tblr}{
    colspec = {
        S[table-format=1.3]
        S[table-format=2.3]
        S[table-format=1.4]
        S[table-format=3.3]
        S[table-format=1.5]
    },
    row{1} = {guard},
    row{2} = {guard, mode=math},
    vline{3,5,7,9} = {2}{-}{text=\clap{\pm}},
  }
    \toprule
    &
    \SetCell[c=2]{c} Messung: Kugel & &
    \SetCell[c=2]{c} Messung: Zylinder &\\
    \cmidrule[lr]{2-3}\cmidrule[lr]{4-5}
    h \mathbin{/} \unit{\meter} &%
    \SetCell[c=2]{c} t \mathbin{/} \unit{\second} & &%
    \SetCell[c=2]{c} t \mathbin{/} \unit{\second}& \\
    \midrule
      0.045 & 1.867 & 0.027 &  2.089 & 0.027   \\
      0.100 & 1.178 & 0.027 &  1.311 & 0.027   \\
      0.150 & 0.922 & 0.027 &  1.067 & 0.027   \\
      0.200 & 0.800 & 0.027 &  0.944 & 0.027   \\
      0.250 & 0.700 & 0.027 &  0.800 & 0.027   \\
      0.300 & 0.656 & 0.027 &  0.722 & 0.027   \\
    \bottomrule
  \end{tblr}
\end{table}

\subsection{Bestimmung der Fallbeschleunigung}

Für die Bestimmung der Fallbeschleunigung wurden eine Ausgleichsfunktion der Form
\eqref{eq:fit-function-g-ball} respektive \eqref{eq:fit-function-g-cylinder} an die  Messwerte aus \autoref{tab:averaged-measurements}
angepasst. Die Daten und Ausgleichsfunktion sind für die Kugel in \autoref{fig:fit-g-ball}
und für den Zylinder in \autoref{fig:fit-g-cylinder} graphisch dargestellt.

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics{plot-g_kugel.pdf}
  \caption{Dargestellt sind die für je eine Höhe gemittelten Messwerte aus \autoref{tab:averaged-measurements} für die Kugel,
  zusammen mit einer Ausgleichsfunktion der Form \eqref{eq:fit-function-g-ball} für die Bestimmung der Fallbeschleunigung $g$.
  Die Parameter der Ausgleichsrechnung sind in \eqref{eq:parameters-g_ball} angegeben.}
  \label{fig:fit-g-ball}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics{plot-g_zylinder.pdf}
  \caption{Dargestellt sind die für je eine Höhe gemittelten Messwerte aus \autoref{tab:averaged-measurements} für den Zylinder,
  zusammen mit einer Ausgleichsfunktion der Form \eqref{eq:fit-function-g-cylinder} für die Bestimmung der Fallbeschleunigung $g$.
  Die Parameter der Ausgleichsrechnung sind in \eqref{eq:parameters-g_cylinder} angegeben.}
  \label{fig:fit-g-cylinder}
\end{figure}

Die Parameter der Ausgleichsrechnung ergeben sich für die Kugel zu
\begin{align}
  \label{eq:parameters-g_ball}
  g_\text{K} &= \qty{10.0+-0.5}{\meter\per\second\squared}\quad\text{ und } & t_{0,\text{K}} &= \qty{-0.148+-0.033}{\second}
\intertext{und für den Zylinder}
  \label{eq:parameters-g_cylinder}
  g_\text{Z} &= \qty{11.2+-0.5}{\meter\per\second\squared}\quad\text{ und } & t_{0,\text{Z}} &= \qty{-0.135+-0.033}{\second}.
\end{align}

\subsection{Bestimmung der Trägheitsmomente von Kugel und Zylinder}

Für die bestimmung der Fallbeschleunigung wurden eine Ausgleichsfunktion der Form
\eqref{eq:fit-function-I} an die Messwerte aus \autoref{tab:averaged-measurements}
angepasst. Die Daten und Ausgleichsfunktion sind für die Kugel in \autoref{fig:fit-I-ball}
und für den Zylinder in \autoref{fig:fit-I-cylinder} graphisch dargestellt.

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics{plot-I_kugel.pdf}
  \caption{Dargestellt sind die für je eine Höhe gemittelten Messwerte aus \autoref{tab:averaged-measurements} für den Kugel,
  zusammen mit einer Ausgleichsfunktion der Form \eqref{eq:fit-function-I} für die Bestimmung des Trägheitsmoments $I_\text{K}$.
  Die Parameter der Ausgleichsrechnung sind in \eqref{eq:parameters-I_ball} angegeben.}
  \label{fig:fit-I-ball}
\end{figure}


\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics{plot-I_zylinder.pdf}
  \caption{Dargestellt sind die für je eine Höhe gemittelten Messwerte aus \autoref{tab:averaged-measurements} für den Zylinder,
  zusammen mit einer Ausgleichsfunktion der Form \eqref{eq:fit-function-I} für die Bestimmung des Trägheitsmoments $I_\text{Z}$.
  Die Parameter der Ausgleichsrechnung sind in \eqref{eq:parameters-I_cylinder} angegeben.}
  \label{fig:fit-I-cylinder}
\end{figure}

Die Parameter der Ausgleichsrechnung ergeben sich für die Kugel zu
\begin{align}
  \label{eq:parameters-I_ball}
  I_\text{K} &= \qty{1.9+-0.4}{\kilo\gram\centi\meter\squared}\quad\text{ und } & t_{0,\text{K}} &= \qty{-0.148+-0.033}{\second}
  \intertext{und für den Zylinder}
  \label{eq:parameters-I_cylinder}
  I_\text{Z} &= \qty{1.90+-0.23}{\kilo\gram\centi\meter\squared}\quad\text{ und }& t_{0,\text{Z}} &= \qty{-0.135+-0.033}{\second}.
\end{align}