Automatisieren von Fehlerrechnung

  • Gesucht: Fehler von $f(x_1, \dots x_m)$, wenn $x_i$ Fehler haben
  • Gaußsche Fehlerfortpflanzung:
$$ \sigma_{f} = \sqrt{\sum_{i=1}^m \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{\!2} \sigma_{x_i}^2} $$
  • Manuelle Fehlerfortpflanzung:
    1. Berechne die Ableitungen von $f$ nach allen fehlerbehafteten Größen $x_i$
    2. Ableitungen in die obere Formel einsetzen
    3. Werte und Fehler der $x_i$ einsetzen
  • Probleme:
    • Kompliziert, dauert lange, man macht oft Fehler
    • Falsches Ergebnis, wenn $x_i$ korreliert sind, dann erweiterte Fehlerfortpflanzung:
$$ \sigma_{f} = \sqrt{\sum_{i=1}^m \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{\!2} \sigma_{x_i}^2 + \sum_{j\neq k} \frac{\partial f}{\partial x_j} \frac{\partial f}{\partial x_k} \operatorname{cov}(x_j, x_k)} $$

  • $\operatorname{cov}(x_j, x_k)$ sind die Einträge der Kovarianzmatrix und beschreiben die Korrelation zwischen den Fehlern von $x_j$ und $x_k$

  • konkret für zwei Messgrößen x, y, die $N$ mal gemessen wurden:

    $$ \operatorname{cov}(x, y) = \frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{N} $$

uncertainties

  • Erlaubt es, Fehlerrechnung automatisch durchzuführen
  • Datentyp: ufloat, repräsentiert Wert mit Fehler
In [1]:
from uncertainties import ufloat

x = ufloat(5, 1)
y = ufloat(3, 1)

x + y
Out[1]:
8.0+/-1.4142135623730951

Korrelationen werden von uncertainties beachtet:

In [2]:
x = ufloat(3, 1)
y = ufloat(3, 1)

print(x - y)
print(x - x) # error is zero!

print(x == y)

0.0+/-1.4
0.0+/-0
False

uncertainties.unumpy ergänzt numpy:

In [3]:
import numpy as np
import uncertainties.unumpy as unp

x = [1, 2, 3, 4, 5]
err = [0.1, 0.3, 0.1, 0.8, 1.0]

y = unp.uarray(x, err)

unp.cos(unp.exp(y))
Out[3]:
array([-0.9117339147869651+/-0.11166193174450133,
       0.4483562418187328+/-1.9814233218473645,
       0.3285947554325321+/-1.8970207322669204,
       -0.3706617333977958+/-40.567208903209576,
       -0.7260031145123346+/-102.06245489729305], dtype=object)

Man muss daran denken, die Funktionen aus unumpy zu benutzen (exp, cos, etc.)

In [4]:
np.cos(x)
Out[4]:
array([ 0.54030231, -0.41614684, -0.9899925 , -0.65364362,  0.28366219])

Zugriff auf Wert und Standardabweichung mit n und s:

In [5]:
x = ufloat(5, 1)
print(x.n)
print(x.s)

5.0
1.0

Bei unumpy mit nominal_values und std_devs

In [6]:
x = unp.uarray([1, 2, 3], [0.3, 0.3, 0.1])
print(unp.nominal_values(x))
print(unp.std_devs(x))

[1. 2. 3.]
[0.3 0.3 0.1]

Kann man natürlich auch abkürzen:

In [7]:
from uncertainties.unumpy import (nominal_values as noms,
                                  std_devs as stds)

print(noms(x))
print(stds(x))

[1. 2. 3.]
[0.3 0.3 0.1]

Korrelierte Werte

In [8]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['figure.figsize'] = (8, 4)
plt.rcParams['font.size'] = 16

x = np.array([90, 60, 45, 100, 15, 23, 52, 30, 71, 88])
y = np.array([90, 71, 65, 100, 45, 60, 75, 85, 100, 80])

plt.plot(x, y, 'ro')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

<Figure size 800x400 with 1 Axes>

vermute eine lineare Korrelation der Messwerte. Stützen der Hypothese mit Korrelationskoeffizient:

$$r = \frac{cov(x, y)}{\sigma_x \sigma_y}, \quad -1 \leq r \leq 1$$

In [9]:
x_mean = np.mean(x)
y_mean = np.mean(y)

dx = x - x_mean
dy = y - y_mean
corr_coeff = np.sum(dx * dy) / np.sqrt(np.sum(dx**2) * np.sum(dy**2))
print(corr_coeff)

0.7807249232806309

Korrelation zwischen Variablen mit correlated_values erzeugen:

In [10]:
from uncertainties import correlated_values

values = [1, 2]

cov = [[0.5, 0.25],
       [0.25, 0.2]]

x, y = correlated_values(values, cov)

Vorsicht bei Fits:

korrelierte Fit-Parameter führen zu nichts-sagenden Ergebnissen. Kontrolle: Korrelationsmatrix.

In [11]:
%matplotlib inline

from numpy.random import normal
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['figure.figsize'] = (10, 8)
plt.rcParams['font.size'] = 16
from scipy.optimize import curve_fit
from uncertainties import correlated_values, correlation_matrix

def f1(x, a, phi):
    return a * np.cos(x + phi) 

def f2(x, a, b):
    return a * np.cos(x) + b * np.sin(x) 


x = np.linspace(0, 4 * np.pi, 15)
y = 5 * np.sin(x) + 5 * np.cos(x) + np.random.normal(0, 0.8, 15)

params1, cov1 = curve_fit(f1, x, y)
params2, cov2 = curve_fit(f2, x, y)

params1 = correlated_values(params1, cov1)
params2 = correlated_values(params2, cov2)


x_plot = np.linspace(0, 4 * np.pi, 1000)

plt.plot(x, y, 'k.')

plt.plot(x_plot, f1(x_plot, *noms(params1)), label='f1', lw=2)
plt.plot(x_plot, f2(x_plot, *noms(params2)), '--', label='f2', lw=2)

plt.legend()

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1)

print(correlation_matrix(params1))
print(correlation_matrix(params2))

mat1 = ax1.matshow(correlation_matrix(params1), cmap='RdBu_r', vmin=-1, vmax=1)
mat2 = ax2.matshow(correlation_matrix(params2), cmap='RdBu_r', vmin=-1, vmax=1)
fig.colorbar(mat1, ax=ax1)
fig.colorbar(mat2, ax=ax2)

[[ 1.         -0.06638882]
 [-0.06638882  1.        ]]
[[1.00000000e+00 4.86953164e-09]
 [4.86953164e-09 1.00000000e+00]]
Out[11]:
<matplotlib.colorbar.Colorbar at 0x7f34a4e84978>

Vorsicht

Man kann keine ufloats plotten:

In [12]:
x = np.linspace(0, 10)
y = unp.uarray(np.linspace(0, 5), 1)

#plt.plot(x, y, 'rx')
plt.errorbar(x, unp.nominal_values(y), yerr=unp.std_devs(y), fmt='rx')
Out[12]:
<ErrorbarContainer object of 3 artists>

Sympy

  • Kann Ableitungen automatisch generieren

SymPy importieren:

In [13]:
import sympy

Mathematische Variablen erzeugen mit var():

In [14]:
x, y, z = sympy.var('x y z')

x + y + z
Out[14]:
$\displaystyle x + y + z$

Differenzieren mit diff():

In [15]:
f = x + y**3 - sympy.cos(z)**2

print(f.diff(x))
print(f.diff(y))
print(f.diff(z))
print(f.diff(z, z, z))

1
3*y**2
2*sin(z)*cos(z)
-8*sin(z)*cos(z)

Eine Funktion, die automatisch die Fehlerformel generiert:

In [16]:
import sympy

def error(f, err_vars=None):
    from sympy import Symbol, latex
    s = 0
    latex_names = dict()
    
    if err_vars == None:
        err_vars = f.free_symbols
        
    for v in err_vars:
        err = Symbol('latex_std_' + v.name)
        s += f.diff(v)**2 * err**2
        latex_names[err] = '\\sigma_{' + latex(v) + '}'
        
    return latex(sympy.sqrt(s), symbol_names=latex_names)

E, q, r = sympy.var('E_x q r')

f = E + q**2 * r

print(f)
print(error(f))
print()

E_x + q**2*r
\sqrt{\sigma_{E_{x}}^{2} + 4 \sigma_{q}^{2} q^{2} r^{2} + \sigma_{r}^{2} q^{4}}
$$f= E + q^2 r \quad\rightarrow\quad \sigma_f = \sqrt{\sigma_{E_{x}}^{2} + 4 \sigma_{q}^{2} q^{2} r^{2} + \sigma_{r}^{2} q^{4}}$$